ギャンブル依存症の治療は保険適用なのでしょうか。

保険適用ですね。

となると保険証を使うわけで、会社の事務には病院名が知られることになります。

精神科の治療歴があると何か勘ぐられるのでは、と不安になるかもしれませんね。

しかし医療機関には守秘義務があるので、問い合わせがあっても詳細は応えません。

会社になにか聞かれたら「ちょっと不眠気味だったので」とでも言って、お茶を濁しておけば大丈夫でしょう。